А для

А для

Георг Кантор - Г.Синкевич

Таких точек разрыва будет континуум в каждом сколь угодно малом ин­тервале. Функция/(х) имеет периодом 1, то есть из интегрируемости в интерва­ле (0,1) будет следовать ее интегрируемость в любом конечном интервале. А для

lim — У ш —

«->»10" м 1.10" Ю" )

 

где со - колебание функции на данном интервале.

 

 

Далее Серпинский, вычисляя значение интеграла J f(x)d(x), показывает,

что функция fix) интегрируема в каждом конечном интервале.

В свою очередь, для каждой функции, интегрируемой в интервале {а, Ь), имеет место

Следовательно, существует неотрицательная функция, притом положитель­ная в некотором всюду плотном и несчетном множестве, для которого интеграл в каждом интервале равен нулю. В интервале (0, 1) имеется, очевидно, контину­ум иррациональных чисел, которые в своих разложениях на десятичные дроби не имеют после запятой ни одного нуля и для которых, в силу определения,/^ будет равна единице.

Функция/(х) в интервале (0, 1) неотрицательна, в некотором континууме точек равна единице, и несмотря на это ее интеграл равен нулю.

Мы остановились так подробно на доказательстве первой теоремы, так как здесь видно, как Серпинский рассматривает классическими методами воп­рос об интегрируемости функции со сложным множеством точек разрыва. Хотя он справляется с решением весьма виртуозно, но приходит к выводу, что аппа­рат теории множеств позволяет получать сильные результаты менее сложным путем, тогда как интеграл Римана - недостаточно гибкий инструмент для класса задач того времени.

Вместе с тем в работах Серпинского по-прежнему видно желание обой­тись без интеграла Лебега, он даже делает попытки переформулировать некото­рые положения в традиционных терминах. Он широко использует аксиому Цер- мело, хотя и не оговаривает этого.

Г.Синкевич: Георг Кантор. Часть 2.